Iz Vašeg životopisa saznala sam da ste završili opći smjer Gimnazije Eugena Kumičića Opatija. Kao stručnjak pred dostignutim ciljem, mislite li da ste u počecima svojeg obrazovanja bili zakinuti za opširnije znanje matematike, s obzirom na to da niste polazili matematičku gimnaziju u kojoj je zastupljen opsežniji program s naglaskom na prirodne znanosti?
- Budući da sam pohađala opći smjer gimnazije prije desetak godina, odnosno prije nego se fond sati iz matematike smanjio u općim i jezičnim smjerovima, smatram da nisam bila posebno zakinuta za opširnije znanje matematike. Iako je matematika zastupljenija u prirodoslovno-matematičkom smjeru, matematičko gradivo koje nam je bilo prezentirano redovito se oslanjalo na udžbenike i zbirke koje koriste matematički smjerovi u gimnazijama; a i želja za dubljim razumijevanjem matematike i otkrivanjem novih, težih, zanimljivijih zadataka uvijek me je "tjerala" na daljnja samostalna istraživanja novih matematičkih koncepata i neprestano utvrđivanje gradiva i povezivanje s već naučenim. I moj maturalni rad je bio iz matematike, ali ni tijekom pisanja rada nisam nailazila na poteškoće u svladavanju tog, finalnog, zadatka u srednjoškolskom obrazovanju.
- Budući da sam pohađala opći smjer gimnazije prije desetak godina, odnosno prije nego se fond sati iz matematike smanjio u općim i jezičnim smjerovima, smatram da nisam bila posebno zakinuta za opširnije znanje matematike. Iako je matematika zastupljenija u prirodoslovno-matematičkom smjeru, matematičko gradivo koje nam je bilo prezentirano redovito se oslanjalo na udžbenike i zbirke koje koriste matematički smjerovi u gimnazijama; a i želja za dubljim razumijevanjem matematike i otkrivanjem novih, težih, zanimljivijih zadataka uvijek me je "tjerala" na daljnja samostalna istraživanja novih matematičkih koncepata i neprestano utvrđivanje gradiva i povezivanje s već naučenim. I moj maturalni rad je bio iz matematike, ali ni tijekom pisanja rada nisam nailazila na poteškoće u svladavanju tog, finalnog, zadatka u srednjoškolskom obrazovanju.
Gledajući iz perspektive modernog postindustrijskog društva u kojem je izražena dominacija suvremene informatičke tehnologije i robotike koja nastoji čovjeku predstaviti gotova rješenja, te zanemariti njegove kreativne i logičke sposobnosti, kakav je status prirodnih znanosti, posebno matematike kao njene temeljnice i je li ona u podređenom položaju u odnosu na modernističke znanstvene grane?- Svi oni koji su željni znanja i koji imaju energije za neprestana istraživanja ne smatraju suvremena (informatička) rješenja gotovim proizvodima i modernim ubojicama ljudske kreativnosti. Iako su nam ta rješenja dostupna, uvijek možemo pokušati otkriti kako su ta rješenja realizirana ili ih čak pokušati poboljšati. Zato ne bih baš rekla da informatička tehnologija i robotika zanemaruju kreativne i logičke čovjekove sposobnosti. U informatici i matematici imamo toliko efikasnih algoritama koji nam pomažu u rješavanju svakodnevnih i manje svakodnevnih problema, ali se njihova kvaliteta preispituje svakodnevno: znanstvenici diljem svijeta neprestano nastoje algoritme usavršiti, pristupiti problemu s neke druge strane, uštedjeti na vremenu, odnosno brže i efikasnije doći do rješenja... Upravo sve ovo itekako potiče kreativnost i logičku sposobnost svih koji su uključeni u projekt. Nerijetko smo vrlo zadovoljni ako uspijemo uštedjeti i stotinku sekunde trajanja petlji unutar cjelokupnog koda jer nam to za milijune podataka znači veliku uštedu vremena. Znanstvenici često iznova pišu algoritam koji im rješava neki problem kako bi smanjili hardverske zahtjeve i na taj način "pojeftinili" izvođenje algoritma. Sve ovo što sam navela itekako potiče logičko razmišljanje i kreativan rad u znanosti. Matematika u današnje vrijeme nikako nije podređena u odnosu na modernističke znanstvene grane jer je dobro poznavanje matematike i rada računala na najosnovnijoj razini preduvjet za mnoge zaključke. Matematika je temelj svakog ozbiljnijeg programiranja i nerijetko se kaže da su dobri programeri i kvalitetni matematičari. Ali, i obrnuto. Iako matematičari nisu toliko eksponirani u medijskom prostoru, oni su itekako zastupljeni u znanstvenim krugovima i širinu njihovog djelovanja laik često ne može ni zamisliti: matematičari se bave kriptografijom, kodiranjem i dekodiranjem podataka, djeluju unutar sektora rizika, predviđaju fluktuacije burzi, bave se aproksimacijama, realizacijom ekonomičnijih mreža infrastrukture unutar jednog grada ili države, procjenama koje su ključne za donošenje odluka u medicini, kemiji, geografiji, psihologiji...
Matematički aksiomi i teoremi postavljeni su još za antičkih matematičara i možemo reći da su tada udareni temelji matematičkih znanosti. Uzmimo za primjer trigonometriju koju i dandanas izučavamo po dostignućima grčkih matematičara. Koja su područja matematike danas u suvremeno doba doživjela najveće spoznaje i dostignuća?
- Ljudi koji nisu usko vezani uz matematiku i ne prate intenzivno rad matematičara u današnje vrijeme misle da je matematika prestala sa svojim razvojem još prije par stoljeća. No, to nije točno. Sve grane matematike se danas itekako intenzivno razvijaju, a što je otkriće veće, to se više novih pitanja otvara i pruža se više prostora za daljnji rad i daljnja proučavanja. Zahvaljujući razvoju modernih tehnologija i internetu, danas su svi matematičari, specijalno oni unutar svog područja djelovanja, vrlo povezani i komunikacija, razmjenjivanje ideja te konstruktivnih kritika odvija se i do par puta u danu jer tisuće kilometara udaljenosti više ne predstavljaju nikakav problem. Ako baš želimo biti nešto egzaktniji i izdvojiti neka od matematičkih dostignuća modernog vremena, svakako bi bilo suludo ne spomenuti dokaz Posljednjeg Fermatovog teorema koji je 1993. godine prvi put predstavio javnosti profesor Andrew Wiles sa Sveučilišta u Oxfordu. Za to postignuće je dobio odličje viteza od strane Kraljice. Drugi vrlo važan dokaz je bio dokaz Poincareove slutnje, jednog od sedam milenijskih problema, do kojeg je došao Grigori Perelman, ruski matematičar koji je odbio novčanu nagradu i Fieldsovu medalju objašnjavajući da ne želi nikakve profane nagrade jer slutnju nije dokazao zbog njih, već zbog sebe, budući da mu je trebala kao alat u daljnjem radu. Ne možete nikada sa sigurnošću jedan značajan matematički dokaz smjestiti unutar jedne matematičke grane jer je upravo njegova veličina u tome da nerijetko povezuje ogroman broj matematičkih koncepata i grana za koje slabije upućeni i ne slute da su povezane. Mogla bih sad reći da se danas u svijetu, ali i u Hrvatskoj, vrlo intenzivno razvija teorija brojeva, ali mislim da bi to bilo sebično prema ostalim granama matematike koje ne bih spomenula isključivo zato jer nisam toliko upoznata s njima koliko s teorijom brojeva koja je moje područje interesa.
- Ljudi koji nisu usko vezani uz matematiku i ne prate intenzivno rad matematičara u današnje vrijeme misle da je matematika prestala sa svojim razvojem još prije par stoljeća. No, to nije točno. Sve grane matematike se danas itekako intenzivno razvijaju, a što je otkriće veće, to se više novih pitanja otvara i pruža se više prostora za daljnji rad i daljnja proučavanja. Zahvaljujući razvoju modernih tehnologija i internetu, danas su svi matematičari, specijalno oni unutar svog područja djelovanja, vrlo povezani i komunikacija, razmjenjivanje ideja te konstruktivnih kritika odvija se i do par puta u danu jer tisuće kilometara udaljenosti više ne predstavljaju nikakav problem. Ako baš želimo biti nešto egzaktniji i izdvojiti neka od matematičkih dostignuća modernog vremena, svakako bi bilo suludo ne spomenuti dokaz Posljednjeg Fermatovog teorema koji je 1993. godine prvi put predstavio javnosti profesor Andrew Wiles sa Sveučilišta u Oxfordu. Za to postignuće je dobio odličje viteza od strane Kraljice. Drugi vrlo važan dokaz je bio dokaz Poincareove slutnje, jednog od sedam milenijskih problema, do kojeg je došao Grigori Perelman, ruski matematičar koji je odbio novčanu nagradu i Fieldsovu medalju objašnjavajući da ne želi nikakve profane nagrade jer slutnju nije dokazao zbog njih, već zbog sebe, budući da mu je trebala kao alat u daljnjem radu. Ne možete nikada sa sigurnošću jedan značajan matematički dokaz smjestiti unutar jedne matematičke grane jer je upravo njegova veličina u tome da nerijetko povezuje ogroman broj matematičkih koncepata i grana za koje slabije upućeni i ne slute da su povezane. Mogla bih sad reći da se danas u svijetu, ali i u Hrvatskoj, vrlo intenzivno razvija teorija brojeva, ali mislim da bi to bilo sebično prema ostalim granama matematike koje ne bih spomenula isključivo zato jer nisam toliko upoznata s njima koliko s teorijom brojeva koja je moje područje interesa.
Matematika je znanost koja se temelji na dokazivanju i vjerodostojnosti činjenica. Koja je grana matematike najneistraženija i na koju su fokusirani znanstvenici?
- Teško pitanje: danas se dosta toga odvija u području kriptografije i algoritmima za kodiranje i dekodiranje podataka. Sve više jača teorija grafova koja svakim danom ima sve jaču primjenu, znanstvenici intenzivno proučavaju i fraktale te ih povezuju sa živim svijetom... Eliptičke krivulje su nešto noviji matematički koncept koji je danas vrlo korišten i koji je jedan od alata koje je Andrew Wiles koristio u dokazivanju Posljednjeg Fermatovog teorema te tako doprinio još većoj "popularnosti" i primjenjivosti eliptičkih krivulja. Jedan japanski matematičar je prije nekoliko mjeseci objavio svoj dokaz poznate matematičke slutnje, ABC slutnje. Sad kompetentna matematička zajednica mora provjeriti dokaz i vidjeti radi li se o valjanoj konstrukciji. Japanski matematičar tvrdi da je na više od 512 stranica raspisao dokaz i time uveo neke sasvim nove matematičke koncepte te udario temelje nekim novim granama matematike koje se bave svojstvima brojeva iz jedne druge perspektive. To bi onda bile još neistražene grane matematike - nastale istražujući novu matematičku građu i oformljavajući dokaz te poznate slutnje. Što više razmišljam o odgovoru, čini mi se da ne mogu ništa posebno izdvojiti jer su sve grane matematike vrlo žive i tisuće znanstvenika svakim danom proučava čitav niz problema unutar svojih područja djelovanja i interesa.
- Teško pitanje: danas se dosta toga odvija u području kriptografije i algoritmima za kodiranje i dekodiranje podataka. Sve više jača teorija grafova koja svakim danom ima sve jaču primjenu, znanstvenici intenzivno proučavaju i fraktale te ih povezuju sa živim svijetom... Eliptičke krivulje su nešto noviji matematički koncept koji je danas vrlo korišten i koji je jedan od alata koje je Andrew Wiles koristio u dokazivanju Posljednjeg Fermatovog teorema te tako doprinio još većoj "popularnosti" i primjenjivosti eliptičkih krivulja. Jedan japanski matematičar je prije nekoliko mjeseci objavio svoj dokaz poznate matematičke slutnje, ABC slutnje. Sad kompetentna matematička zajednica mora provjeriti dokaz i vidjeti radi li se o valjanoj konstrukciji. Japanski matematičar tvrdi da je na više od 512 stranica raspisao dokaz i time uveo neke sasvim nove matematičke koncepte te udario temelje nekim novim granama matematike koje se bave svojstvima brojeva iz jedne druge perspektive. To bi onda bile još neistražene grane matematike - nastale istražujući novu matematičku građu i oformljavajući dokaz te poznate slutnje. Što više razmišljam o odgovoru, čini mi se da ne mogu ništa posebno izdvojiti jer su sve grane matematike vrlo žive i tisuće znanstvenika svakim danom proučava čitav niz problema unutar svojih područja djelovanja i interesa.
Teorija brojeva opsežna je grana matematike. Nabrojite nam i približite neka od svojstava cijelih brojeva.
- U elementarnoj teoriji brojeva bavimo se pitanjima djeljivosti, kongruencija, svojstvima prostih brojeva, određivanjem ostataka pri dijeljenju vrlo velikih brojeva, kvadratnim formama, aritmetičkim funkcijama, diofantskim jednadžbama, posebice Pellovim i pellovskim jednadžbama, eliptičkim krivuljama, kvadratnim poljima...
- U elementarnoj teoriji brojeva bavimo se pitanjima djeljivosti, kongruencija, svojstvima prostih brojeva, određivanjem ostataka pri dijeljenju vrlo velikih brojeva, kvadratnim formama, aritmetičkim funkcijama, diofantskim jednadžbama, posebice Pellovim i pellovskim jednadžbama, eliptičkim krivuljama, kvadratnim poljima...
U kolovozu 2012. godine prisustvovali ste ljetnoj školi Four Faces of Number Theory u Wuerzburgu, u Njemačkoj. Usavršavaju li se u toj edukacijskoj ljetnoj školi matematičke vještine ili je zastupljen istraživački rad na području pojedinih matematičkih grana? Recite nam nešto o tom iskustvu.
- Ljetna škola Four Faces of Number Theory, kako i sam naziv kaže, bila je koncipirana tako da je polaznicima, većinom studentima doktorskih studija, predstavila četiri lica teorije brojeva. Četiri iznimno poznata i renomirana gostujuća profesora tjedan dana su nam pričala svatko o jednom licu teorije brojeva kojim se (najviše) bavi. Tako nam je profesorica Kathrin Bringmann sa Sveučilišta u Kölnu, GER, inače dobitnica nagrade Alfried Krupp za razdoblje 2009. g. - 2014. g. od milijun eura, pričala o modularnim formama, profesor Yann Bugead sa Sveučilišta u Strasbourgu, FR, nam je pričao o proširenjima algebarskih brojeva, profesor Titus Hilberdink sa Sveučilišta u Readingu, UK, nam je pričao o multiplikativnim Toeplitzovim matricama i Riemannovoj zeta funkciji te profesor Jürgen Sander sa Svučilišta u Hildesheimu, GER, nam je pričao o teoriji grafova u teoriji brojeva. Izlaganja su bila usmjerena prvenstveno na edukaciju polaznika i na ukazivanje na širok spektar otvorenih problema i prilika za suradnju na njima. To je bio odličan način da se mladi teoretičari brojeva, ili oni koji će to tek postati, upoznaju s raznim aspektima te matematičke grane, otvorenim pitanjima koja čekaju na dokaze te da se svi povežu i ostvare daljnju suradnju i prijateljstva. To je bilo divno iskustvo nakon kojeg se vratite puno bogatiji, što na profesionalnom, što na privatnom planu. Predavanja su trajala čitave dane s pauzom za ručak, ali uz tako ugodnu atmosferu i pristupačnost profesora, vrijeme je jednostavno projurilo. Sa svim polaznicima koji su došli u školu sa svih kontinenata se i danas čujem; a i planiram se ove godine vidjeti s nekima od njih na još jednom okupljanju iz teorije brojeva koje će se održati u Finskoj. Ova ljetna škola bila je odlična prilika za upoznavanje s istraživačkim radom i odnosom prema radu koji imaju ljudi izvan naših granica.
- Ljetna škola Four Faces of Number Theory, kako i sam naziv kaže, bila je koncipirana tako da je polaznicima, većinom studentima doktorskih studija, predstavila četiri lica teorije brojeva. Četiri iznimno poznata i renomirana gostujuća profesora tjedan dana su nam pričala svatko o jednom licu teorije brojeva kojim se (najviše) bavi. Tako nam je profesorica Kathrin Bringmann sa Sveučilišta u Kölnu, GER, inače dobitnica nagrade Alfried Krupp za razdoblje 2009. g. - 2014. g. od milijun eura, pričala o modularnim formama, profesor Yann Bugead sa Sveučilišta u Strasbourgu, FR, nam je pričao o proširenjima algebarskih brojeva, profesor Titus Hilberdink sa Sveučilišta u Readingu, UK, nam je pričao o multiplikativnim Toeplitzovim matricama i Riemannovoj zeta funkciji te profesor Jürgen Sander sa Svučilišta u Hildesheimu, GER, nam je pričao o teoriji grafova u teoriji brojeva. Izlaganja su bila usmjerena prvenstveno na edukaciju polaznika i na ukazivanje na širok spektar otvorenih problema i prilika za suradnju na njima. To je bio odličan način da se mladi teoretičari brojeva, ili oni koji će to tek postati, upoznaju s raznim aspektima te matematičke grane, otvorenim pitanjima koja čekaju na dokaze te da se svi povežu i ostvare daljnju suradnju i prijateljstva. To je bilo divno iskustvo nakon kojeg se vratite puno bogatiji, što na profesionalnom, što na privatnom planu. Predavanja su trajala čitave dane s pauzom za ručak, ali uz tako ugodnu atmosferu i pristupačnost profesora, vrijeme je jednostavno projurilo. Sa svim polaznicima koji su došli u školu sa svih kontinenata se i danas čujem; a i planiram se ove godine vidjeti s nekima od njih na još jednom okupljanju iz teorije brojeva koje će se održati u Finskoj. Ova ljetna škola bila je odlična prilika za upoznavanje s istraživačkim radom i odnosom prema radu koji imaju ljudi izvan naših granica.
Veliki je matematičar Gauss rekao: “Matematika je kraljica znanosti, a aritmetika kraljica matematike“. Je li to doista tako i u današnje doba i je li sama vjerodostojnost matematike i u današnjem društvu dominatnija u odnosu na suvremene grane modernističkih znanosti?
- Ne znam koliko sam kompetentna za odgovor na to pitanje. Kad iz papuča jednog matematičara gledate na sve što nije egzaktno, potkrijepljeno dokazom i točno tako i nikako drugačije, onda obožavate i cijenite tu egzaktnost smatrajući matematiku definitivnom kraljicom znanosti. Kad uočite da se matematikom služe sve druge znanosti barem kao alatom koji im je neophodan ili barem kao potporom u odlučivanju, onda je ne možete ne gledati kao apsolutnu dominaciju u znanosti. No, ovaj je stav tipičan za matematičara, osobu koja se većinu života bavi matematikom iz strasti i kojoj je logički aparat razrađeniji od onih ostalih. Nisam sigurna da bih se usudila reći da je matematika dominantnija u odnosu na sve ostalo jer bih to zaključila na temelju vrlo površnog uspoređivanja, ali je u svakom slučaju vrlo posebna, temelj svemu što poznajemo, a da većina nas toga nije ni svjesna, i kao takva je u svoj svojoj biti najljepša.
- Ne znam koliko sam kompetentna za odgovor na to pitanje. Kad iz papuča jednog matematičara gledate na sve što nije egzaktno, potkrijepljeno dokazom i točno tako i nikako drugačije, onda obožavate i cijenite tu egzaktnost smatrajući matematiku definitivnom kraljicom znanosti. Kad uočite da se matematikom služe sve druge znanosti barem kao alatom koji im je neophodan ili barem kao potporom u odlučivanju, onda je ne možete ne gledati kao apsolutnu dominaciju u znanosti. No, ovaj je stav tipičan za matematičara, osobu koja se većinu života bavi matematikom iz strasti i kojoj je logički aparat razrađeniji od onih ostalih. Nisam sigurna da bih se usudila reći da je matematika dominantnija u odnosu na sve ostalo jer bih to zaključila na temelju vrlo površnog uspoređivanja, ali je u svakom slučaju vrlo posebna, temelj svemu što poznajemo, a da većina nas toga nije ni svjesna, i kao takva je u svoj svojoj biti najljepša.
Razgovor vodila: Tanja Tatalović, 3.5